سلام بچه ها دستم به دامنتون میشه اینو زود برام حل کنید تا دوازده امشب وقت دارم

برای اثبات $CN=DN$ در مربع $ABCD$ که $N$ وسط ضلع $AB$ است، می‌توانیم به روش زیر عمل کنیم: 1. **تعاریف اولیه:** چون $ABCD$ مربع است، تمام اضلاع آن برابر هستند. فرض کنیم طول هر ضلع مربع $a$ باشد. 2. **مختصات نقاط:** - اگر نقطه $A$ را در مختصات $(0,0)$ قرار دهیم، نقاط دیگر به صورت زیر خواهند بود: - $B(a,0)$ - $C(0,a)$ - $D(a,a)$ - نقطه $N$ که وسط $AB$ است، مختصات $(\frac{a}{2},0)$ خواهد داشت. 3. **محاسبه اندازه $CN$ و $DN$:** - طول $CN$ با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه: $$CN=\sqrt{(\frac{a}{2}-0{)}^2+(0-a{)}^2}=\sqrt{(\frac{a}{2}{)}^2+a^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{\sqrt{5}a}{2}$$ - طول $DN$: $$DN=\sqrt{(\frac{a}{2}-a{)}^2+(0-a{)}^2}=\sqrt{(-\frac{a}{2}{)}^2+(-a{)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{\sqrt{5}a}{2}$$ 4. **نتیجه‌گیری:** همانطور که مشاهده می‌کنید، $CN=DN=\frac{\sqrt{5}a}{2}$ و این نشان می‌دهد که $CN$ و $DN$ برابرند. بنابراین، اثبات کردیم که $CN=DN$ است.